Als Rechenschwächen (auch Rechenstörung, Dyskalkulie oder Arithmasthenie) werden Abstraktionsdefizite im elementaren Zahlen- und Operationsverständnis bezeichnet. Bei Rechenschwächen handelt es sich um keinen Mangel an Intelligenz, an Begabung oder um die generell mangelnde Fähigkeit zum logischen Denken. Mit Rechenschwächen wird ein auf das mathematische Lernen mangelndes sachlogisches Verständnis beschrieben. Dabei sind die Zahlen als Repräsentanten abstrakter Mengen und deren quantitative Relationen zu anderen Zahlen sowie die Rechenoperationen unverstanden. Aus dem Mangel grundlegender mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten resultieren spezifische mathematische Wissensdefizite und anhaltende Minderleistungen beim schulischen und alltagspraktischen Rechnen.

Die "Rechenstörung" wird in der Klassifikation ICD-10 der Weltgesundheitsorganisation (WHO) beschrieben, wobei danach eine deutliche Abweichung der Rechenleistungen von der "allgemeinen Intelligenz" festzustellen sein muss. Die neuere pädagogische und fachdidaktische Forschung wendet sich gegen diese Definition einer Diskrepanz zwischen den mathematischen und den sonstigen Leistungen. Rechenschwächen, deren Genese, Erscheinungsformen und Auswirkungen folgen demnach einer eigenen Sachlogik. So wirken sich die jahrelangen Misserfolge im Rechnen als einem der zentralen schulischen und kulturellen Lerngebiete in der Regel auf die Leistungen im nicht-mathematischen Bereich aus. Die Pädagogik spricht hier vom "Teufelskreis der Lernstörung", dessen Auswirkungen über Misserfolgsorientierung und Versagensängsten, Mathe-Angst und Schulunlust bis hin zu pathologischen Persönlichkeitsentwicklungen reichen können.

Nach den jüngsten empirischen Untersuchungen muss bei 22 % der Schulkinder im zweiten Schuljahr von einem rudimentären bis mangelnden elementaren Zahl- und Operationsverständnis ausgegangen werden.[ 1 ] Andere Untersuchungen benennen 6 % der Schulkinder als massiv rechenschwach.[ 2 ]

Die Folgen der elementaren Wissensdefizite sind erheblich. Ohne Einsicht in die elementare mathematische Logik können weder die darauf aufbauende Arithmetik noch die weiteren sachlogisch folgenden Inhalte der Mathematik verstanden werden. Die Wissensdefizite müssen kumulieren. Rechenschwächen wachsen sich nicht aus. Aus rechenschwachen Kindern werden Jugendliche und Erwachsene mit Dyskalkulie. Die Auswirkungen der Rechenschwäche auf die Lebensplanung und -gestaltung sind gravierend. Wer nicht rechnen kann, beherrscht eine der wichtigsten Kulturtechniken nicht. Ohne elementar mathematische Einsichten ist nicht nur eine erfolgreiche Bewältigung der Schul- und Berufsausbildung in Frage gestellt. Auch in der täglichen Praxis des Umgangs mit Geld-, Zeit-, Längen- und Gewichtsmaßen ist das mangelnde Verständnis im Umgang mit Mengen und Zahlen ein großes Handicap. Neben den Einschränkungen in der beruflichen Planung führen Rechenschwächen in vielen Fällen zu nachhaltigen Beeinträchtigungen der seelischen Gesundheit.

Rechenschwächen können in verschiedenen Ausprägungen vorliegen und mit verschiedenen Erscheinungsformen auftreten. Zumeist können Rechenschwache die Zahlsymbole (Ziffern) lesen und Zahlnamen entsprechende Zahlsymbole zuordnen. Sie verbinden mit Zahlnamen und Zahlsymbolen jedoch nicht deren abstrakte Mengenbedeutung und sie denken Zahlen nicht in ihren Mächtigkeitsbeziehungen zu den anderen Zahlen. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:

Ohne Einsicht in die Mengenbedeutung von Zahlen und deren Relationen zu den anderen Zahlen muss nach der Berechnung von 3 + 4 = 7 und die Aufgabe 3 + 5 erneut ausgerechnet werden. Der Zusammenhang zwischen beiden Aufgaben wird nicht erfasst. Zwar hören rechenschwache Kinder die Zahlnamen und sehen die Zahlsymbole korrekt, jedoch verstehen sie deren abstrakte Mengeninhalte nicht. Aus diesem Grund stellen sie keinen Zusammenhang zwischen den Namen "vier" und "fünf" bzw. zwischen den Zeichen "4" und "5" her. Sie erfassen keine Erhöhung um eins und können nicht auf die Lösung von 3 + 5 schließen. Ältere Kinder haben die Aufgabensätze im Bereich bis 10 häufig auswendig gelernt. Die mangelnden Einsichten fallen dann im höheren Zahlbereich auf: nach 7 + 8 = 15 müssen 7 + 18 und 17 + 18 komplett neu berechnet werden. Es wird keine Erhöhung um 10 erfasst.

Ein weiteres Beispiel ist die Lösung der Aufgabe 7 – 6. Diese ist bei vorliegender Einsicht in die Mengenbedeutung der beiden Zahlen (6 = 6 x 1; 7 = 7 x 1) und der darauf basierenden Einsicht in deren Mengenbeziehung (6 ist eins weniger als 7; 7 ist eins mehr als 6) sowie bei Kenntnis des Operationszeichens keine schwierige Aufgabe. Die Lösung kann aus diesem Wissen abgeleitet werden. Rechenschwache verfügen nicht über dieses Wissen um die logischen Zahlbeziehungen. Die Lösung wird nicht in dem beschriebenen Sinne gewusst, sondern muss ausgezählt oder auf andere Weise kompensatorisch hervorgebracht werden. Ältere rechenschwache Kinder haben die Aufgabensätze bis 10 häufig auswendig gelernt und scheitern dann an Aufgaben wie 21 – 19, die bei Kenntnis der Zahlbeziehungen ebenfalls keine Lösungsanstrengung erfordern.

Es lassen sich verschiedene Typen von Rechenschwachen an Hand ihrer Verfahren unterscheiden, mit denen sie anstelle des "verständigen Rechnens"[ 3 ] Ergebnisse produzieren. Die Ersatzformen des Rechnens generieren sich unter den schulischen und sozialen Zwängen trotz mangelnder logischer Einsichten Ergebnisse hervorbringen zu müssen.

In den ersten Schuljahren ist der Typus des Zählers am häufigsten vertreten. Ohne Einsicht in die elementare mathematische Logik bedeutet für den Zähler jede Aufgabe eine erneute Aufforderung zum Auszählen. Seine Zählschritte kontrolliert er dabei zumeist mit Hilfe seiner Finger oder anderer zählbarer Objekte. Wegen der Buchführung mittels konkreter Dinge wird diese Form der Rechenschwäche als Konkretismus bezeichnet. Häufig entwickelt sich dieser Typus zum mentalen Konkretismus. Dabei erfolgt die Buchführung mit Hilfe vorgestellter Fingermengen oder anderer vorgestellter Objekte.

Das Zählen, insbesondere das Zählen an mental visualisierten Mengenbildern erfordert ein hohes Maß an Konzentration. Es führt daher zu einer schnellen Ermüdung, zu nachlassender Aufmerksamkeit und zu einer wachsenden Fehlerzahl durch unkontrollierte Buchführung. Weitere Grenzen ergeben sich aus dem Verfahren der Kontrolle der Zählschritte bei langen Zählwegen. An den Fingern kann nur eine begrenzte Anzahl von Zählschritten erfasst werden. Bei vielen Zählschritten gerät das Verfahren außer Kontrolle. Aus dem fortgesetzten Zählen resultieren keine mathematischen Einsichten, stattdessen wird es vom Zähler für das Rechnen selbst gehalten. Das permanente Zählen verhindert damit jede sachlogische Einsicht; der Konkretismus verfestigt sich.

Das Zählen verweist auf eine Genese von Rechenschwächen im mathematischen Anfangsunterricht. Häufig wird es begleitet durch das Auswendiglernen von Aufgabensätzen und Regeln. Da die logische Begründung der Regeln unverstanden ist, können diese nur als Einzelfakten auswendig gelernt werden. Das laufende "Einpauken" von Einzelfakten stößt an Kapazitätsgrenzen und führt ebenfalls zu keinem mathematischen Verständnis.

Im Verlauf des Mathematikunterrichtes werden zunehmend Algorithmen zum Lösen von Rechenaufgaben bis hin zu den so genannten schriftlichen Verfahren vorgestellt und eingeübt. Für das rechenschwache Kind bieten das Training und das sture Abarbeiten dieser Algorithmen die Möglichkeit zum Hervorbringen korrekter Ergebnisse, teilweise in einer passablen Zeit. Aus dem Zähler wird der begriffslose Mechaniker. Dieser rechnet alles mittels der antrainierten Algorithmen aus, ohne zu verstehen, was und wie er rechnet. Es werden auch Aufgaben wie 21 – 19 (mit der Ziffernfolge 02) oder 200 – 199 (mit 001) schriftlich ausgerechnet. Die Ergebnisse verweisen auf das rein schematische Abarbeiten des Algorithmus - Ziffer für Ziffer wird verrechnet - ohne Reflektion der abstrakten Wertigkeiten und Wertigkeitsbeziehungen der Zahlen. In die Algorithmen des begriffslosen Mechanikers sind häufig Zählstrategien integriert. Da die Logik der Verfahren unverstanden ist, erfolgen Abwandlungen der Algorithmen, die ausschließlich der subjektiven Logik des Mechanikers folgen. Ohne kardinales Zahlverständnis kann nicht geschätzt werden. Mangels sachlogischer Einsichten verfügt der begriffslose Mechaniker über keine Anhaltspunkte zur Kontrolle seiner Vorgehensweisen und seiner Ergebnisse. Er kann beim Lösen von Aufgaben nur seiner subjektiven, aus mathematischer Sicht fehlerhaften bis abstrusen Logik folgen.

Es gibt eine breite Anzahl von Symptomen, die auf Rechenschwächen hindeuten können. Es wird in primäre Symptome als jene Auffälligkeiten, die das Rechnen selbst betreffen und in sekundäre Symptome, die sich als psychische Auswirkung der Rechenschwäche feststellen lassen, unterschieden.

Als primäre Symptome, die im Umgang mit Zahlen und Mengen auffallen, lassen sich bei Kindern, Jugendlichen und Erwachsenen folgende beobachten:

• Nahezu alle Aufgaben werden durch Zählen an den Fingern, an anderen Objekten oder mit Hilfe von Anschauungsmaterialien gelöst.
• Bei Additionen und Subtraktionen wird sich häufig um 1 verrechnet.
• Es wird auch da gezählt, wo sich Zählen erübrigt. Nach 7 + 8 = 15 wird 7 + 9 erneut ausgezählt.
• Alle sich aus der Logik des Zahlaufbaus und dem Zusammenhang der Operationen ergebenden Rechenerleichterungen bleiben ungenutzt. Nach 3 + 4 = 7 wird 7 - 4 neu abgezählt.
• Dekadische Transferleistungen sind nicht möglich. Nach 3 + 4 = 7 wird 13 + 4 neu ausgezählt.
• Subtraktionsaufgaben werden regelmäßig nicht oder falsch gelöst.
• Rechenarten werden verwechselt.
• An die Stelle des stupiden Zählens tritt häufig das begriffslose, rein mechanische Rechnen, auch da, wo sich die Mechanik logisch verbietet. z. B.: 13 - 12 wird gerechnet als 10 – 10 = 0 und 3 – 2 = 1.
• Anstelle der Operationslogik treten subjektive Rechenregeln (subjektive Algorithmen), z. B. 10 + 10 = 200 (subjektive Logik: 1 + 1 = 2 und zwei Nullen "angehängt")
• Es werden häufig die Zehner und Einer von Zahlen vertauscht (Zahlreversionen): 24 statt 42.
• Die Stellenwerte von Zahlen werden beim Rechnen missachtet. z. B.: Bei 30 + 25 = 82 wird gerechnet 3 + 5 = 8 und 0 + 2 = 2.
• Die Bedeutung der Null als Zahl und als Ziffer wird nicht erkannt.
• Multiplikationsreihen werden begriffslos wie ein Gedicht aufgesagt. Der Zusammenhang der Multiplikation mit der Addition und Subtraktion ist unverstanden. z. B.: 9 x 9 = 81; 8 x 9 = 72; 81 - 9 muss neu abgezählt werden
• Offensichtlich falsche Lösungen werden nicht erkannt. Häufig werden Traumergebnisse produziert, z. B. 200 : 2 = 1
• Platzhalteraufgaben (analytische Aufgaben), wie x - 4 = 6 können nicht gelöst werden.
• Bei Textaufgaben zeigt sich völliges Unverständnis: Es werden falsche Fragen formuliert, z. B. nach schon gegebenen Inhalten, und falsche Rechnungen angestellt. Die Antworten passen nicht zur Frage.
• Der rechnerische und praktische Umgang mit Größen (Strecken, Gewichten, Geld, Zeiten) gelingt nicht oder kaum.
• Das räumliche und/oder zeitliche Vorstellungsvermögen ist nicht altersgemäß entwickelt.
• Mühsam Eingeübtes ist nach kurzer Zeit wieder vergessen.

Hinweise auf das Vorliegen einer Rechenschwäche können häufig auch aus dem Verhalten von Kindern und Jugendlichen entnommen werden. Rechenschwache Kinder und Jugendliche fallen beim schulischen Rechnen selten dadurch auf, dass sie nichts machen. Trotz mangelnder Einsichten in die elementare Mathematik wird bei Anforderung der Schule, rechnen zu müssen, "gerechnet". Ergebnisse werden zählend oder mit anderen Ersatzformen des Rechnens hervorgebracht. Der kompensatorische Aufwand, ohne Einsichten trotzdem richtige Ergebnisse hervorbringen zu müssen, erfordert ein hohes Maß an Konzentration und ist sehr zeitaufwendig. Die notwendige Konzentrationsaufwand äußert sich insbesondere bei Zählern häufig durch ein typisches Starren während des "Rechnens". Dabei werden wegen der dort geringen Ablenkungsgefahr oft monochrome Flächen wie Wände oder der Himmel angestarrt. Oft wird das konzentrierte Starren durch leichtes Kopfnicken im Zählrhythmus begleitet. Das Starren rechenschwacher Kinder wird vielfach als Wegblicken, als mangelndes Interesse missdeutet. Hier werden Ursache und Wirkung verdreht. Das Starren ist Ergebnis des mangelnden Verständnisses und nicht dessen Ursache.

In Folge des hohen Konzentrationsaufwandes ermüden rechenschwache Kinder und Jugendliche häufig deutlich schneller als jene, deren Lösungsprozesse auf logischen Einsichten basieren. Neben dem Nachlassen der Aufmerksamkeit reagieren Kinder auf Ermüdung mit zunehmender motorischer Aktivität. Im Unterricht oder beim häuslichen Üben fällt dies als störend auf. Rechenschwachen Kindern werden häufig eine mangelnde Konzentration und mangelnder Wille bescheinigt. Auch hier werden die Kausalitäten vertauscht. Das Zählen gelingt nur bei hoher Aufmerksamkeit im Zählakt. Die nachlassende Konzentration ist Ergebnis der großen Anstrengung. Der Wille des Kindes liegt vor, nur sind die mathematischen Inhalte von ihm unbegriffen.

Das Vorliegen eines oder mehrerer Symptome bedeutet noch nicht das Vorliegen einer Rechenschwäche. Fällt eine Vielzahl von Symptomen auf, sollte durch eine qualitative Untersuchung des rechnerischen Verständnisses eine diagnostische Abklärung des Verdachtes auf eine Rechenschwäche erfolgen.

Rechenschwächen zeigen sekundäre Wirkungen in Bereichen, die mit dem eigentlichen Rechnen und seinen Problemen sachlich nicht zusammenhängen. Im "Teufelskreislauf" einer Rechenschwäche wirken sich die mathematischen Lernprobleme als psychische Belastungen des Kindes aus. Werden Rechenschwächen nicht erkannt, resultieren daraus "Hilfen", die auf das Problem des Kindes in völliger unangemessener bis unqualifizierter Weise reagieren. So werden die Anzahl der häuslichen Übungsstunden erhöht; es werden der schulische Förderunterricht und außerschulische Nachhilfen bemüht. Dabei wird das Unverstandene weiter trainiert. Dies kann zu keinen sachlogischen Einsichten führen. Das mathematische Unverständnis und die schulischen Minderleistungen im Rechnen halten weiter an. Die psychische Belastung des Kindes resultierend aus den erhöhten Bemühungen und den gleichzeitig anhaltenden Misserfolgen steigt und kann sich bis hin zur Entwicklung psychopathologischer Symptome steigern. Können sekundäre psychische oder psychosomatische Auswirkungen von Rechenschwächen wie Angst vor dem Mathematikunterricht oder dem Schulbesuch, Insuffizienzäußerungen (Kind hält sich für dumm), sozialer Rückzug, situationsbedingte Kopf- und Bauchschmerzen o. ä. festgestellt werden, ist eine diagnostische Abklärung und Intervention dringlich.

Aus der Charakteristik von Rechenschwächen ergibt sich, dass das "klassische" Üben (zusätzliche schulische und außerschulische Förderstunden, häusliche Übungen, "Einpauken" des aktuellen Schulstoffes) in der Sache sinnlos ist. Stattdessen trägt es zu einer weiteren psychischen Belastung des Kindes und der Familie bei. Mit dem Einüben des unverstandenen aktuellen Schulstoffes können die fehlenden elementar-mathematischen Einsichten nicht erarbeitet werden.

Für eine effektive Hilfe muss zunächst der mathematische Lernstand des Kindes detailliert untersucht werden. Nur durch eine qualitative mathematische Lernstandsanalyse kann ein individuelles Profil des rechnerischen Denkens des Kindes erstellt werden. Dabei erfolgt nicht eine Auswertung der Rechenergebnisse des Kindes nach dem Richtig-Falsch-Schema, sondern es werden die Lösungsprozesse und Denkweisen über mathematische Fragen analysiert. Mit der Methode der qualitativen Diagnostik kann offen gelegt werden, welche Einsichten nicht vorliegen, welche Zusammenhänge unverstanden sind und an welcher Stelle im Aufbau des mathematischen Verständnisses mit einer Dyskalkulietherapie gezielt angesetzt werden muss.

Ausgehend von den Erkenntnissen über die jeweilige Lernausgangslage des Kindes wird in der Dyskalkulietherapie der mathematische Lernstoff nachholend erarbeitet. Eine Dyskalkulietherapie sollte eine fortlaufende Förder- und Verlaufsdiagnostik umfassen, damit einerseits das Verständnis bereits erarbeiteter Inhalte abgesichert wird und andererseits die noch zu erarbeitenden Bausteine der Arithmetik offen gelegt werden.

Die Verständnis- und Wissensfortschritte in der Dyskalkulietherapie wirken auf das Kind bestärkend. Sie fördern seine Lernmotivation und helfen, die Angst vor der Mathematik abzubauen. Dyskalkulietherapien werden von spezialisierten Einrichtungen angeboten.